Il coraggio della libertà

Il paradosso di Achile e la tartaruga

"Se, in una gara di corsa, Achille concede un vantaggio So = d ad una Tartaruga, non riuscirà mai a raggiungerla, poiché quando Achille avrà recuperato l'handicap iniziale la Tartaruga avrà percorso un altro piccolo tratto di strada, e quando Achille avrà percorso questo nuovo tratto la Tartaruga si troverà ancora avanti di un ulteriore, più piccolo tratto, e così via all'infinito…" .

Con questo celebre paradosso il pensatore greco Zenone d'Elea, vissuto nel V secolo a.C. , voleva difendere la dottrina Parmenidea dell'unicità e dell'immobilità dell'essere, dimostrando come coloro che affermavano l'esistenza della molteplicità e del divenire si ritrovassero
impantanati in evidenti contraddizioni.

Secondo la tesi della divisibilità all'infinito dello spazio, ad esempio, Achille impiegherebbe un tempo infinito per percorrere le infinite (anche se sempre più piccole) porzioni di spazio che lo separano dalla Tartaruga, man mano che quest'ultima procede dalla sua posizione di partenza, non riuscendo così mai a raggiungerla.

Un tipo di ragionamento, questo, che se spinto alle sue estreme conseguenze sembrerebbe dimostrare addirittura l'impossibilità del moto, in quanto Achille, partendo dal punto zero, prima di coprire la distanza d dovrà aver coperto la metà di tale distanza, e prima ancora la metà della metà di quest'ultima, e così via in un regresso all'infinito che, in ultima analisi, impedirebbe ad Achille di spostarsi dalla posizione iniziale.
Ovviamente, nella realtà, le cose stanno ben diversamente e non è difficile confutare questa conclusione. Il vecchio filosofo Diogene, ad esempio, la smentì addirittura senza dire una parola, semplicemente mettendosi a camminare!
Per quanto le sue conclusioni conducessero ad un assurdo, però, il ragionamento di Zenone appariva logicamente corretto e fu dunque preso molto sul serio dai matematici dei secoli successivi. Dopotutto, infatti, sembrava perfettamente logico ed evidente che sommando un numero infinito di termini di una successione il risultato dovesse essere, a sua volta, infinito. E il fatto che i singoli termini fossero ciascuno più piccolo del precedente, come accadeva nel paradosso di Zenone, non sembrava alterare tale evidenza.
Ma ci si sbagliava di grosso!
Con lo sviluppo del calcolo infinitesimale e della teoria dei limiti, a cavallo tra Settecento ed Ottocento, si riuscì finalmente a dimostrare che una somma di quantità finite in numero illimitato non è necessariamente infinita, ossia non supera necessariamente, da un certo momento in poi, ogni numero prefissato per quanto grande esso sia. In particolare, proprio nel caso in cui le quantità che si succedono sono sempre più piccole, può accadere che il limite delle loro successive somme sia finito: si parlerà in tal caso di serie convergenti, per distinguerle da quelle divergenti il cui limite è invece infinito.
In virtù di tali risultati diventa quasi banale risolvere il paradosso di Zenone, partendo ad esempio dalle proprietà delle cosiddette progressioni geometriche, ossia di quelle particolari successioni numeriche in cui ogni termine si ottiene dal precedente moltiplicandolo per un certo fattore q , detto ragione.
Innanzitutto, supponendo che Achille proceda ad una velocità costante VA di s volte maggiore di quella della Tartaruga (cioè supponendo che sia VA = s VT , con s > 1 ), dalle equazioni del moto uniforme in cinematica si trova facilmente che, nel medesimo intervallo di tempo t1 in cui Achille percorre la distanza d, la Tartaruga avrà percorso un ulteriore tratto pari a d (1/s) = d / s

Per Achille, infatti, tale intervallo di tempo si ricava direttamente dall'espressione della velocità:

VA = d / t1 t1 = d / VA t1 = d / (s VT )

e in questo stesso intervallo di tempo la Tartaruga, che si muove a velocità VT , avrà percorso una nuova distanza x(t1) pari a:

x(t1) = VT t1 x(t1) = VT ( d / (s VT ) ) = d / s

Quando poi Achille avrà percorso questo nuovo tratto, la Tartaruga, nel frattempo, sarà avanzata
ancora di (d / s) (1/s) = d / s2 , e così via… (vedi figura).

Achille dunque, nonostante debba compiere un numero infinito di spostamenti, raggiungerà la Tartaruga in un tempo finito e ad una distanza ben precisa dal punto O d'origine.
Questo risultato, oltre a risolvere elegantemente il paradosso di Zenone, smentisce anche la tesi dei Pitagorici, acerrimi avversari dello stesso Zenone, i quali componevano il continuo con atomi (punti) di dimensione finita. Nell'ipotesi pitagorica, infatti, la somma di un numero crescente di segmenti, anche se decrescenti e dunque sempre più piccoli, dovrebbe tendere comunque all'infinito, perché ciascun segmento conterrebbe un numero intero di atomi dotati di dimensione (sarebbe come fare la somma di infiniti numeri interi, che tende certamente all'infinito). Invece, come abbiamo appena mostrato con l'aiuto delle progressioni geometriche, la somma di infiniti termini sempre più piccoli converge verso un risultato finito. La matematica conferma perciò quanto accadrebbe effettivamente nella realtà: Achille raggiunge e supera la Tartaruga in breve tempo, in barba ai Pitagorici!